Ответ:

при a=0; x<=1/2;

при 0<a<1; x<=(1-sqrt(1-a))/a  или x>=(1+sqrt(1-a))/a;

при a>=1; x – любое действительное число.

Задача.

Решить неравенство a^3*x^4+2a^2*x^2-8x+a+4>=0, (*) для всех неотрицательных значений параметра a.

Решение.

Рассмотрим все возможные случаи.

I. При a=0 неравенство (*) примет вид -8x+4>=0 < = > x<=1/2.

II. При a>0, (*)[x]a < = > (ax)^4+2a(ax)^2-8(ax)+a^2+4a>=0.

Пусть t=ax, тогда t^4+2at^2-8t+a^2+4a>=0 < = > a^2+(2t^2+4)a+t^4-8t>=0 < = >

a^2+(2t^2+4)a+t(t^3-2^3)>=0 < = > a^2+(2t^2+4)a+t(t-2)(t^2+2t+4)>=0 < = >

a^2+(2t^2+4)a+(t^2-2t)(t^2+2t+4)>=0 < = > [по теореме Виета корнями квадратного трёхчлена f(a)= a^2+(2t^2+4)a+(t^2-2t)(t^2+2t+4) являются значения а1=-t^2+2t и a2=-t^2-2t-4] < = > (a+t^2-2t)(a+t^2+2t+4)>=0. Вернёмся к переменной x:

(a+a^2*x^2-2ax)(a+a^2*x^2+2ax+4)>=0, [:]a, a>0;

(ax^2-2x+1)(a^2*x^2+2ax+a+4)>=0, (1)

При a>0 квадратный трёхчлен g(x)= a^2*x^2+2ax+a+4 принимает только положительные значения, так как его старший коэффициент a^2 положителен, а дискриминант D=4a^2-4a^2(a+4)=4a^2(-3-a) отрицателен. Следовательно,

(1)[:]g(x) < = > ax^2-2x+1>=0 < = > s(x)>=0, (2), где s(x)= ax^2-2x+1.

1) При a>=1, старший коэффициент a квадратного трёхчлена s(x) положителен, а дискриминант D= 4-4a=4(1-a) не положителен. Следовательно, неравенство (2) справедливо для любого действительного значения x.

2) При 0<a<1, дискриминант D=4(1-a) квадратного трехчлена s(x) положителен. Следовательно, s(x) имеет два различных действительных корня:

x1=(1-sqrt(1-a))/a, x2=(1-sqrt(1-a))/a, причём x1<x2.

В этом случае решением неравенства (2) является множество всех значений x, таких что

x<=(1-sqrt(1-a))/a  или x>=(1+sqrt(1-a))/a.

Ответ:
при a=0; x<=1/2;
при 0<a<1; x<=(1-sqrt(1-a))/a  или x>=(1+sqrt(1-a))/a;
при a>=1; x – любое действительное число.