Задача.

Доказать, что для любого натурального числа n справедливо неравенство (seca)^(2*n)+(coseca)^(2n)>n*e, (*).

Указания к решению задачи.

(*) < = > (1+(tga)^2)^n+(1+(ctga)^2)^n>n*e, (1).

Пусть x=(tga)^2, где x>0. Тогда неравенство (1) примет вид:

(1+x)^n+(1+1/x)^n>n*e, (2).

Исследуя функцию f(x)= (1+x)^n+(1+1/x)^n, x>0 на монотонность и экстремумы, получаем, что x=1 – точка её глобального минимума.

Следовательно, f(x)>=f(1)=2*2^n.

Осталось доказать, что для любого натурального числа n справедливо неравенство:

2*2^n>n*e, (3)  < = > 2^n/n>e/2, (4).

Исследуя функцию g(t)=2^t/t, t>=1 на монотонность и экстремумы, получим, что t=1/ln2 – точка глобального минимума функции g(t), поэтому

2^t/t=g(t)>=g(1/ln2)=e*ln2=(e/2)*ln4>(e/2)*lne=e/2, для любого t>=1.

Отсюда следует, что для любого натурального n выполняются неравенство (4), а значит и (3).

Таким образом,

(seca)^(2*n)+(coseca)^(2n)=(1+(tga)^2)^n+(1+(ctga)^2)^n>=f(1)=2*2^n>n*e -->

--> (seca)^(2*n)+(coseca)^(2n)>n*e, где n – любое натуральное число.

Отредактировано Sticker (2010-05-23 09:58:55)