Задача.
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
Планиметрия
Страница: 1
Сообщений 1 страница 10 из 10
Поделиться22010-05-23 17:05:36
Если обозначить k=x/a, то не очень трудно получить уравнение третьей
степени для k: a^2(a+b)k^3-ab(a+b)k^2+b^2(a+c)k-b^2c,
но как его решать? Уравнение не совсем симметрично относительно
перестановки a, b, c. Однако симметричным должен быть уже результат
для a*k. Проверял с помощью Mathcad (решение уравнения) и Живой геометрии
(конкретное моделирование на примере прямоугольного треугольника со
сторонами a=10, b=8, c=6). Результат х=5.074 для всех трех прямых.
Отредактировано michel (2010-05-23 17:06:20)
Поделиться32010-05-23 17:23:19
michel написал(а):
a^2(a+b)k^3-ab(a+b)k^2+b^2(a+c)k-b^2c
Где-то пропущен знак "равно"(наверно, в конце должно стоять "=0").
Интересная мысль ... Правда в моём решении дело обошлось без кубического уравнения. Я вот надеюсь на то, что есть ещё какие-нибудь интересные решения этой задачи ... Так хочется их увидеть ...
Отредактировано Sticker (2010-05-23 17:33:52)
Поделиться42010-05-23 17:32:16
Sticker написал(а):
Где-то пропущен знак "равно"(наверно, в конце должно стоять "=0")
Да, в конце должно было стоять =0, а так уравнение проверял несколько раз. А какое
у Вас получилось выражение для х?
Отредактировано michel (2010-05-23 17:33:55)
Поделиться52010-05-23 17:37:05
michel написал(а):
А какое
у Вас получилось выражение для х?
Michel, у меня получился такой ответ: x=2abc/(ab+ac+bc).
Поделиться62010-05-23 18:34:28
Sticker написал(а):
Michel, у меня получился такой ответ: x=2abc/(ab+ac+bc).
Если обозначить k=x/a, l=x/b, то рассматривая отношения сторон
подобных треугольников, можно получить простое выражение
для третьего коэффициента m=x/c: m=2-k-l (сначала перемудрил,
получил выражение со знаменателем). Теперь получаем систему
двух линейных уравнений: (2-k-l)c=a*k=b*l, решая которую
находим k=2bc/(ab+bc+ac) и Ваше выражение для х. Спасибо,
а то был в полной уверенности, что получил верное уравнение
для k, численное моделирование дало сначала близкие результаты
х=5.07 (правильно однако х=5.11) для треугольника со сторонами
10, 8, 6.
Отредактировано michel (2010-05-23 18:38:46)
Поделиться72010-05-23 18:44:33
Молодец, Michel! 
Поделиться82010-05-23 18:46:06
Задача.
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
Указания к решению задачи.
Пусть T – данный треугольник со сторонами a, b, c. Данные прямые L1, L2, L3 высекают внутри треугольника T три малых треугольника T1, T2, T3 с общей вершиной O, где O - точка пересечения прямых L1, L2, L3.
Обозначим через
a1, b1, c1 – длины сторон треугольника T1;
a2, b2, c2 – длины сторон треугольника T2;
a3, b3, c3 – длины сторон треугольника T3,
причём стороны a1, a2, a3 параллельны стороне a;
стороны b1, b2, b3 параллельны стороне b;
стороны c1, c2, c3 параллельны стороне c.
Заметим, что каждый из треугольников T1, T2, T3 подобен треугольнику T.
Пусть k1, k2, k3 – коэффициенты подобия соответственно. Тогда
k1=a1/a=b1/b=c1/c, k2=a2/a=b2/b=c2/c, k3=a3/a=b3/b=c3/c.
Так как a1+a2+a3=a --> a1/a+a2/a+a3/a=1 --> k1+k2+k3=1, (*).
Поскольку
{a1+a2=x,
{b2+b3=x,
{c1+c3=x, то
{x/a=a1/a+a2/a,
{x/b=b2/b+b3/b,
{x/c=c1/c+c3/c.
Отсюда
{x/a=k1+k2, (1)
{x/b=k2+k3, (2)
{x/c=k1+k3, (3)
(1)+(2)+(3) --> x/a+x/b+x/c=2(k1+k2+k3). С учётом (*), получим
x/a+x/b+x/c=2. Отсюда x=2abc/(ab+ac+bc).
Ответ: x=2abc/(ab+ac+bc).
Поделиться92010-05-23 19:27:27
Я решал так: сначала провел две параллельные прямые
KL!!BC=a и MN!!AC=b, KL=k*a, MN=l*b. Дальше нашел
пропорции отрезков MO:ON=k+l-1:1-k и KO:OL=k+l-1:1-l.
Потом через точку О провел параллельную третьей
стороне АВ прямую DE и определил отношение DC:AC следующим
образом: AD=MO=((k+l-1)/((k+l-1)+(1-k)))MN=((k+l-1)/l)MN=(k+l-1)b,
далее DC=1-AD=(2-k-l)b и DC:AC=(2-k-l):1, откуда DE=(2-k-l)c=х
и получили двойное равенство: (2-k-l)c=k*a=l*b.
Поделиться102010-05-23 20:51:58
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-24
- Приглашений: 0
- Сообщений: 483
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+10/-1]
- Провел на форуме:
3 дня 3 часа - Последний визит:
2010-07-07 21:34:51
Ну вот... Не успела условие прочитать,как решение тут как тут.Хотя идея решения видна сразу: подобие,а уж треугольников там подобных выше крыши. Вспомнилась задача про площади:`sqrtS=sqrtS_1+sqrtS_2+sqrtS_3`
Отредактировано scorpion (2010-05-23 20:55:51)
Страница: 1