Решить в целых числах x^4-7y^4=16
С6: x^4-7y^4=16
Страница: 1
Сообщений 1 страница 18 из 18
Поделиться22010-04-15 17:38:39
Ответ: x=2 y=0
x=-2 y=0
Доказательство:
последняя цифра любого числа в четвертой степени может быть:
0
1
6
5,
сотответственно если умножим на 7 то получим (последнии цифры):
0
7
2
5.
Отсюда следует, что может быть один вариант: в первом случае последняя цифра = 6, во втором =0.
А значит. чтобы уравнение имело смысл, может быть всего один вариант, когда x=+-2, а y=0.
Отредактировано alexman (2010-04-15 17:52:46)
Поделиться32010-04-15 17:54:23
возможно ли такое решение?
Поделиться42010-04-15 19:01:26
alexman написал(а):
Отсюда следует, что может быть один вариант: в первом случае последняя цифра = 6, во втором =0.
А значит. чтобы уравнение имело смысл, может быть всего один вариант, когда x=+-2, а y=0.
Честно говоря, такой логический переход не очень понятен...
Ну и кроме того
просто пример "от фонаря"
x:=12;y:=3; x^4-7*y^4=20169 - последняя цифра не 0 и не 6...
Или я Вас не понял?
Поделиться52010-04-15 19:23:21
Я имел ввиду, что выражения x^4 и 7*y^4 должны заканчиваться на 6 и на 0 соответственно, чтоб в итоге уравнение
x^4-7y^4=16 имело смысл (16-последняя цифра - 6).
Отсюда и получил вышеизложенные корни...
Они то хоть правильные?
Отредактировано alexman (2010-04-15 19:25:19)
Поделиться62010-04-15 19:39:18
alexman Вот теперь я, кажется, Вас понял. Дя, идея верная (я тоже ее использовал), но она не доказывает единственность Вашего ответа. Я выложу попозже свое решение, но либо сегодня вечером, либо завтра - у меня его сейчас нет под рукой.
Чертовка написал(а):
возможно, я поняла решение неправильно, но, подставив, +-2 в "х" и 0 в "у" все верно получилось =)
В праильности ответа никто не сомневается, вопрос в доказательстве его единственности.
Поделиться72010-04-15 19:43:06
Решение пока убрал - подредактирую и выложу в нормальном виде
Поделиться82010-04-15 19:45:20
Прошу прощения за оформление, решал в спешке. Наверное, есть и более простой путь - это первое, что пришло в голову.
Поделиться92010-04-15 19:51:20
спасибо!!
Поделиться102010-04-20 23:11:46
- Участник
- Зарегистрирован: 2010-04-17
- Приглашений: 0
- Сообщений: 14
- Уважение: [+0/-0]
- Позитив: [+0/-0]
- Провел на форуме:
11 часов 54 минуты - Последний визит:
2010-06-14 12:37:38
Доброй ночи, Александр!
Не понятен переход - ...."взаимно просты, т.е. либо одно из них 14...."
Разве не может быть, что один из сомножителей делится на 2, а другой на 7?
Поделиться112010-04-20 23:57:30
Светлана написал(а):
Разве не может быть, что один из сомножителей делится на 2, а другой на 7?
Левая часть будет делиться на 14 при k=6+7t или k=7+7t, тогда произведение, полученное после сокращения на 14 тоже будет произведением взаимно простых чисел, которое не может быть полным квадратом. Но здесь, конеччно, должно быть более простое решение.
Поделиться122010-04-25 06:55:01
ALarin написал(а):
Прошу прощения за оформление, решал в спешке. Наверное, есть и более простой путь - это первое, что пришло в голову.
Извините! а где можно посмотреть решение?
Поделиться132010-04-25 13:54:02
раскладываем как разность квадоатов.далее рассуждаю,что раз в натуральных числах,значит разность будет целым числом. 16= 1*16=2*8=4*4.составляю системы,приравнивая скобки соответственно парам множителей. получаю 5 систем из которых получаются две пары (-2,0) и (2,0).
Поделиться142010-04-25 17:43:37
Зоя Фёдоровна написал(а):
Извините! а где можно посмотреть решение?
Там надо доделать чуток - попозже выложу.
ника написал(а):
раскладываем как разность квадоатов
А куда 7 девать?
Поделиться152010-04-26 23:42:02
ALarin написал(а):
А куда 7 девать?
так и брать как корень из 7.там в некоторых системах получаются иррациональные корни,которые отбрасываем как не удовлетворяющие условию,зато не надо доказывать,что других решений нет.
Поделиться162010-04-26 23:56:37
ника написал(а):
так и брать как корень из 7.
Тогда на каком основании раскладывать 16 на натуральные множители, если слева иррациональные?
Поделиться172010-04-27 10:19:36
scorpion написал(а):
.(х+2) больше у,следовательно делится на у
...
(х^2+4) больше (х+2),сл-но делится на у.
Вот эти моменты меня смущают в решении.
у - число не простое, поэтому можем ли мы так утверждать сразу?
Поделиться182010-04-27 17:47:24
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-24
- Приглашений: 0
- Сообщений: 483
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+10/-1]
- Провел на форуме:
3 дня 3 часа - Последний визит:
2010-07-07 21:34:51
Меня уже тоже смущают...Может поможет то,что сомножители в левой части равенства (х+2) и (х-2)отличаются на4, а х^2+4 и (х-2)(х+2)- на 8 ? Надо проверить, какие простые множители могут повторяться в таком произведении 4 раза.Удаляю предыдущее сообщение!
Отредактировано scorpion (2010-04-27 18:29:01)
Страница: 1