Математика. Подготовка к ЕГЭ.

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.



С6: x^4-7y^4=16

Сообщений 1 страница 18 из 18

1

Решить в целых числах x^4-7y^4=16

0

2

Ответ: x=2 y=0
          x=-2 y=0

Доказательство:
последняя цифра любого числа в четвертой степени может быть:
0
1
6
5,
сотответственно если умножим на 7 то получим (последнии цифры):
0
7
2
5.
Отсюда следует, что может быть один вариант: в первом случае последняя цифра = 6, во втором =0.
А значит. чтобы уравнение имело смысл, может быть всего один вариант, когда x=+-2, а y=0.

Отредактировано alexman (2010-04-15 17:52:46)

0

3

возможно ли такое решение?

0

4

alexman написал(а):

Отсюда следует, что может быть один вариант: в первом случае последняя цифра = 6, во втором =0.
А значит. чтобы уравнение имело смысл, может быть всего один вариант, когда x=+-2, а y=0.

Честно говоря, такой логический переход не очень понятен...
Ну и кроме того
просто пример "от фонаря"
x:=12;y:=3;   x^4-7*y^4=20169 - последняя цифра не 0 и не 6...
Или я Вас не понял?

0

5

Я имел ввиду, что выражения x^4  и  7*y^4  должны заканчиваться на 6 и на 0 соответственно, чтоб в итоге уравнение
x^4-7y^4=16 имело смысл (16-последняя цифра - 6).

Отсюда и получил вышеизложенные корни...
Они то хоть правильные?

Отредактировано alexman (2010-04-15 19:25:19)

0

6

alexman Вот теперь я, кажется, Вас понял. Дя, идея верная (я тоже ее использовал), но она не доказывает единственность Вашего ответа. Я выложу попозже свое решение, но либо сегодня вечером, либо завтра - у меня его сейчас нет под рукой.

Чертовка написал(а):

возможно, я поняла решение неправильно, но, подставив, +-2 в "х" и 0 в "у" все верно получилось  =)

В праильности ответа никто не сомневается, вопрос в доказательстве его единственности.

0

7

Решение пока убрал - подредактирую и выложу в нормальном виде

-1

8

Прошу прощения за оформление, решал в спешке. Наверное, есть и более простой путь - это первое, что пришло в голову.

0

9

спасибо!!

0

10

Доброй ночи, Александр!
Не понятен переход - ...."взаимно просты, т.е. либо одно из них 14...."
Разве не может быть, что один из сомножителей делится на 2, а другой на 7?

0

11

Светлана написал(а):

Разве не может быть, что один из сомножителей делится на 2, а другой на 7?

Левая часть будет делиться на 14 при k=6+7t или k=7+7t, тогда произведение, полученное после сокращения на 14 тоже будет произведением взаимно простых чисел, которое не может быть полным квадратом. Но здесь, конеччно, должно быть более простое решение.

0

12

ALarin написал(а):

Прошу прощения за оформление, решал в спешке. Наверное, есть и более простой путь - это первое, что пришло в голову.

Извините! а где можно посмотреть решение?

0

13

раскладываем как разность квадоатов.далее рассуждаю,что раз в натуральных числах,значит разность будет целым числом. 16= 1*16=2*8=4*4.составляю системы,приравнивая скобки соответственно парам множителей. получаю 5 систем из которых получаются две пары (-2,0) и (2,0).

0

14

Зоя Фёдоровна написал(а):

Извините! а где можно посмотреть решение?

Там надо доделать чуток - попозже выложу.

ника написал(а):

раскладываем как разность квадоатов

А куда 7 девать?

0

15

ALarin написал(а):

А куда 7 девать?

так и брать как корень из 7.там в некоторых системах получаются иррациональные корни,которые отбрасываем как не удовлетворяющие условию,зато не надо доказывать,что других решений нет.

0

16

ника написал(а):

так и брать как корень из 7.

Тогда на каком основании раскладывать 16 на натуральные множители, если слева иррациональные?

0

17

scorpion написал(а):

.(х+2) больше у,следовательно делится на у
...
(х^2+4) больше (х+2),сл-но делится на у.

Вот эти моменты меня смущают в решении.
у - число не простое, поэтому можем ли мы так утверждать сразу?

0

18

Меня уже тоже смущают...Может поможет то,что сомножители в левой части равенства (х+2) и (х-2)отличаются на4, а х^2+4 и (х-2)(х+2)- на 8 ? Надо проверить, какие простые множители могут повторяться в таком произведении 4 раза.Удаляю предыдущее сообщение!

Отредактировано scorpion (2010-04-27 18:29:01)

0