Математика. Подготовка к ЕГЭ.

Информация о пользователе

Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.


Вы здесь » Математика. Подготовка к ЕГЭ. » Решение задач » С5. МФТИ (посложнее)


С5. МФТИ (посложнее)

Сообщений 1 страница 9 из 9

1

Числа х и у являются решением системы
-х+ау=2а,
ах-у=3а-5
где а - параметр. Какое наименьшее значение может принимать выражение х^2+y^2? При каком а это происходит?

0

2

Ответ: 25/2 при а=-5.
Решение: Складываем оба уравнения, получаем: у+х=5.
Вычитаем из первого второе: у-х=(5-а)/(а+1).
Возводим оба выражения в квадрат и сложим:
(у+х)^2+(y-x)^2=2y^2+2x^2=25+(a-5)^2/(a+1)^2>=25.





















<a href=http://www.adult-cms.com/>adult cms</a>

0

3

michel
Не все так просто  :no:

-1

4

1) a=1.
Тогда система уравнений равносильна уравнению -x+y=2.
f=x^2+y^2=x^2+(2+x)^2=2x^2+4x+4.
f'=4x+4,
x_min=-1, f_min=2.

2) a=-1.
Тогда система уравнений равносильна уравнению x+y=2.
f=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4
f'=4x-4,
x_min=1, f_min=2.

3) a<>1.
x=(3a^2-3a)/(a^2-1)=3a/(a+1)
y=(2a^2+3a-5)/(a^2-1)=(2a+5)/(a+1).
f=x^2+y^2=(3a/(a+1))^2+((2a+5)/(a+1))^2.
f'=(6a-30)/(a+1)^3,
a_min=5, f_min=12,5,
x=y=2,5.

Ответ: 2 при a=-1 и a=1 (x=y=1); 12,5 при a=5 (x=y=2,5).

Отредактировано MayBee (2010-05-02 11:40:27)

0

5

MayBee написал(а):

Ответ: 2 при a=-1 и a=1

При а=-1 система не имеет решений.Поэтому ответ 2 при а=1.

0

6

scorpion написал(а):

При а=-1 система не имеет решений.Поэтому ответ 2 при а=1.

scorpion, спасибо, действительно, получается
-x-y=-2 и
-x-y=-8.
:)

0

7

Тогда вот так. :)

1) a=1.
Тогда система уравнений равносильна уравнению -x+y=2.
f=x^2+y^2=x^2+(2+x)^2=2x^2+4x+4.
f'=4x+4,
x_min=-1, f_min=2.

2) a=-1.
Тогда система уравнений не имеет решения, т.к.
-x-y=-2 и -x-y=-8.

3) a<>1.
x=(3a^2-3a)/(a^2-1)=3a/(a+1)
y=(2a^2+3a-5)/(a^2-1)=(2a+5)/(a+1).
f=x^2+y^2=(3a/(a+1))^2+((2a+5)/(a+1))^2.
f'=(6a-30)/(a+1)^3,
a_min=5, f_min=12,5,
x=y=2,5.

Ответ: 2 при a=1.

P.S. Спасибо scorpionу. :)

Отредактировано MayBee (2010-05-02 13:54:27)

0

8

12,5>2 :dontknow:

0

9

scorpion, да!
Копипаст - зло. :)

0


Вы здесь » Математика. Подготовка к ЕГЭ. » Решение задач » С5. МФТИ (посложнее)