Этой цифрой будет 0, если имеется в виду то число, которое получится после умножения на 13 или 7, если имеется в виду исходное число.

0.05775*13=0.75075
То, что первой цифрой будет 0 обосновать легко - иначе изменится целая часть.
Далее, если искать число в виде 0.0ABCD, то умножение на 13 можно представить в виде
ABCD0
  ABCD
  ABCD
  ABCD
--------
BA0CD

D=5, т.к. 5 - единственное число (состоящее из одной цифры), которое при умножении на 3 дает на конце цифру, равную самому числу (т.е. 5) 5*3=15

ABC50
  ABC5
  ABC5
  ABC5
--------
BA0C5 Получаем для следующего разряда (с учетом той единицы от 15, что "на ум пошла") 3C+6=...C - число заканчивающееся на С. Для всех цифр возможны 2 варианта C=7 и C=2
Рассмотрим С=7 (С=2 не подойдет - не сойдется, мне лень эту двойку расписывать - сами посмотрите)

AB750
  AB75
  AB75
  AB75
--------
BA075
Рассуждаем аналогично 3В+7+2=...0 (двойка - то, что "на ум пошло" при сложении предыдущего столбика)
Видим единственный вариант В=7
A7750
  A775
  A775
  A775
--------
7A075
Рассуждаем аналогично 3А+7+3=...А (тройка - то, что "на ум пошло" при сложении предыдущего столбика)
А=5; В=5+2=7 - сходится
Итого искомое число 0.05775

Задача.

Решите уравнение 2^m-3^n=1, (1) где m, n –  натуральные числа.

Решение.

Сначала выведем формулу:

a^k-b^k=(a-b)(a^(k-1)+a^(k-2)*b+a^(k-3)*b^2+  … + a*b^(k-2)+b^(k-1)), (*).

Найдём сумму членов геометрической прогрессии:

1+q+q^2+q^3+ … +q^(k-1)=(1-q^k)/(1-q), где q<>1.

Отсюда, 1-q^k=(1-q)( 1+q+q^2+q^3+ … +q^(k-1)), (**).

Положим в формуле (**) q=b/a. Тогда получим:

1-(b/a)^k=(1-(b/a))( 1+(b/a)+ (b/a)^2+(b/a)^3+ … +(b/a)^(k-1)).

Домножая обе части последнего равенства на a^k,  получим формулу:

a^k-b^k=(a-b)(a^(k-1)+a^(k-2)*b+a^(k-3)*b^2+  … + a*b^(k-2)+b^(k-1)), (*).

Теперь перейдём к решению исходной задачи. Рассмотрим все возможные случаи.

I) n=1 = > (1) = > 2^m-3=1 < = > 2^m=4 < = > m=2. Следовательно, пара чисел m=2, n=1 – является  решением

данного уравнения (1).

II) n>=2, n – натуральное число.

Докажем, что в этом случае, уравнение (1) не имеет натуральных решений (m,n).

Натуральное число  n может быть либо чётным, либо нечётным.

1) если n –  чётное число, то n=2k, где k-натуральное число.

n=2k = > (1) = > 2^m-3^(2k)=1 < = > 2^m=3^(2k)+1 < = > 2^m=9^k+1, (2).

Преобразуем правую часть равенства (2):

9^k+1=9^k+1-2+2=9^k-1+2=9^k-1^k+2=[по формуле (*)]=

=(9-1)(9^(k-1)+ … +1)+2=8*(9^(k-1)+ … +1)+2.

Заметим, что k>=1 = > 2k>=2 = > 3^(2k)>=9 = > 3^(2k)+1>=10 = > 2^m>=10>8 = > m>3.

Следовательно, равенство (2) невозможно, поскольку его левая часть нацело делится на 8, а правая часть при делении на 8 даёт в остатке 2.

2) если n – нечётное  число и n>=2, то n=2k+1, k – натуральное число.

n=2k+1 = > (1) = > 2^m-3^(2k+1)=1 < = > 2^m=3*9^k+1, (3).
Преобразуем правую часть равенства (3):

3*9^k+1=3*9^k+1-4+4=3*9^k-3+4=3(9^k-1^k)+4=[по формуле (*)]=

=3(9-1)(9^(k-1)+ … +1)+4=3*8*(9^(k-1)+ … +1)+4.

Заметим, что k>=1 = > 2k+1>=3 = > 3^(2k+1)>=27 = > 3^(2k+1)+1>=28 = > 2^m>=28>16 = > m>4.

Следовательно, равенство (2) невозможно, поскольку его левая часть нацело делится на 8, а правая часть при делении на 8 даёт в остатке 4.

Таким образом, данное уравнение (1) имеет единственное решение в натуральных числах:

m=2, n=1.

Ответ:  m=2, n=1.

scorpion, я так понимаю, ММИ - это метод математической индукции? Если да, то, насколько мне известно, этот метод изучается только в классах с углубленным изучением математики или на факультативных курсах и не входит в программу по математике для обычных классов. (и это очень плохо)
Моё решение может и длиннее, но идея, которая в нём используется может оказаться полезной для решения других задач.

Отредактировано Sticker (2010-05-12 10:12:07)