Числа х и у являются решением системы
-х+ау=2а,
ах-у=3а-5
где а - параметр. Какое наименьшее значение может принимать выражение х^2+y^2? При каком а это происходит?
С5. МФТИ (посложнее)
Страница: 1
Сообщений 1 страница 9 из 9
Поделиться12010-05-02 00:19:40
Поделиться22010-05-02 09:37:28
Ответ: 25/2 при а=-5.
Решение: Складываем оба уравнения, получаем: у+х=5.
Вычитаем из первого второе: у-х=(5-а)/(а+1).
Возводим оба выражения в квадрат и сложим:
(у+х)^2+(y-x)^2=2y^2+2x^2=25+(a-5)^2/(a+1)^2>=25.
<a href=http://www.adult-cms.com/>adult cms</a>
Поделиться32010-05-02 10:05:03
michel
Не все так просто 
Поделиться42010-05-02 11:32:42
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-12
- Приглашений: 0
- Сообщений: 33
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+6/-0]
- Провел на форуме:
16 часов 7 минут - Последний визит:
2012-06-07 18:59:37
1) a=1.
Тогда система уравнений равносильна уравнению -x+y=2.
f=x^2+y^2=x^2+(2+x)^2=2x^2+4x+4.
f'=4x+4,
x_min=-1, f_min=2.
2) a=-1.
Тогда система уравнений равносильна уравнению x+y=2.
f=x^2+y^2=x^2+(2-x)^2=2x^2-4x+4
f'=4x-4,
x_min=1, f_min=2.
3) a<>1.
x=(3a^2-3a)/(a^2-1)=3a/(a+1)
y=(2a^2+3a-5)/(a^2-1)=(2a+5)/(a+1).
f=x^2+y^2=(3a/(a+1))^2+((2a+5)/(a+1))^2.
f'=(6a-30)/(a+1)^3,
a_min=5, f_min=12,5,
x=y=2,5.
Ответ: 2 при a=-1 и a=1 (x=y=1); 12,5 при a=5 (x=y=2,5).
Отредактировано MayBee (2010-05-02 11:40:27)
Поделиться52010-05-02 12:02:41
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-24
- Приглашений: 0
- Сообщений: 483
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+10/-1]
- Провел на форуме:
3 дня 3 часа - Последний визит:
2010-07-07 21:34:51
MayBee написал(а):
Ответ: 2 при a=-1 и a=1
При а=-1 система не имеет решений.Поэтому ответ 2 при а=1.
Поделиться62010-05-02 12:47:09
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-12
- Приглашений: 0
- Сообщений: 33
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+6/-0]
- Провел на форуме:
16 часов 7 минут - Последний визит:
2012-06-07 18:59:37
scorpion написал(а):
При а=-1 система не имеет решений.Поэтому ответ 2 при а=1.
scorpion, спасибо, действительно, получается
-x-y=-2 и
-x-y=-8.
Поделиться72010-05-02 12:50:00
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-12
- Приглашений: 0
- Сообщений: 33
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+6/-0]
- Провел на форуме:
16 часов 7 минут - Последний визит:
2012-06-07 18:59:37
Тогда вот так.
1) a=1.
Тогда система уравнений равносильна уравнению -x+y=2.
f=x^2+y^2=x^2+(2+x)^2=2x^2+4x+4.
f'=4x+4,
x_min=-1, f_min=2.
2) a=-1.
Тогда система уравнений не имеет решения, т.к.
-x-y=-2 и -x-y=-8.
3) a<>1.
x=(3a^2-3a)/(a^2-1)=3a/(a+1)
y=(2a^2+3a-5)/(a^2-1)=(2a+5)/(a+1).
f=x^2+y^2=(3a/(a+1))^2+((2a+5)/(a+1))^2.
f'=(6a-30)/(a+1)^3,
a_min=5, f_min=12,5,
x=y=2,5.
Ответ: 2 при a=1.
P.S. Спасибо scorpionу.
Отредактировано MayBee (2010-05-02 13:54:27)
Поделиться82010-05-02 13:40:37
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-24
- Приглашений: 0
- Сообщений: 483
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+10/-1]
- Провел на форуме:
3 дня 3 часа - Последний визит:
2010-07-07 21:34:51
12,5>2 
Поделиться92010-05-02 13:52:51
- Активный участник
- Зарегистрирован: 2010-04-12
- Приглашений: 0
- Сообщений: 33
- Уважение: [+4/-0]
- Позитив: [+6/-0]
- Провел на форуме:
16 часов 7 минут - Последний визит:
2012-06-07 18:59:37
scorpion, да!
Копипаст - зло.
Страница: 1