Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, я ученик - на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе - на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
С6: МГУ Мехмат 1992 (мастер и ученик)
Страница: 1
Сообщений 1 страница 8 из 8
Поделиться22010-04-12 23:36:27
Ответ: 24.
Задача очень напоминает именно С6 от МИОО про автобусы (но не с их "авторским" решением по критериям) - целочисленное уравнение с "принудительным" разложением на множители.
Пусть х - производительность мастера, n - время, которое ему нужно.
Получим уравнение: nх = 2(х-2)(n-1). Раскрываем, приводим подобные и заставляем разложиться на множители так:
(х-4)(n-2)=4. Учитывая, что х>5, получим два натуральных решения: x=6 n=4 и x=8 n=3. И так и так ответ 24.
Интересно, какие еще варианты решения возможны?
Поделиться32010-04-12 23:41:17
По-моему, больше никакие. Еще x=5 n=6, но т.к. x>5, то этот вариант не подходит
Поделиться42010-04-16 18:11:18
Мак Сим написал(а):
заставляем разложиться на множители так:
Мак Сим, Вам хорошо так рассуждать, Вы можете заставить разложится на множители кого угодно!))) А что делать нам, простым смертным, которые в уравнении xn-4n-2x+4=0 не могут найти никакого разложения? Только и остается выразить n и потребовать чтобы n было целым. Т.е. n=2+4/(х-4). Значит 4 должно делиться на х-4. Но т.к. х>5, то (х-4) может быть только 2 или 4. При х-4=2 х=6, n=4, xn=24. При х-4=4 х=8, n=3, xn=24.
Ответ:24
Поделиться52010-04-16 18:15:02
Мак Сим написал(а):
заставляем разложиться на множители так:
(х-4)(n-2)=4.
Марина написал(а):
Т.е. n=2+4/(х-4).
Не вижу разницы 
Поделиться62010-04-16 18:25:01
Зря смеетесь! Попробуйте разложить на множители многочлен xn-4n-2x+4. Вот то то и оно! А из (х-4)(n-2)=4 выразить n конечно плевое дело! Но дойти то до этого как то надо!
Поделиться72010-04-16 18:30:31
Марина
Я, кстати, сам делаю Вашим способом ...
Поделиться82010-04-17 18:49:01
Марина написал(а):
Мак Сим, Вам хорошо так рассуждать, Вы можете заставить разложится на множители кого угодно!))) А что делать нам, простым смертным, которые в уравнении xn-4n-2x+4=0 не могут найти никакого разложения?
"Тута главное - начАть! Или нАчать". 
Я обязательно "принудительному разложению на множители" хотя бы одно занятие посвящаю.
Идея ведь очень проста - если при стандартном разложении на множители группировкой наша цель - получить справа ноль, а слева разложение, то при "принудительном разложении" - справа получаем ЛЮБОЕ ЧИСЛО, а слева разложение. Как это делается? Да очень просто. Берем и начинаем группировать.
Возьмем тот же самый многочлен x*n-4*n-2*x+4. Есть в первых двух слагаемых общий множитель? Есть. За скобку его! Что имеем? (x-4)*n. Что осталось? -2*x+4. Что хотим получить? x-4. Какой множитель перед х? -2. За скобку его, а в скобке пусть будет ТО, ЧТО НАМ НАДО, то есть x-4. Имеем -2*(х-4). Мысленно "раскроем скобки" и посмотрим, что у нас получилось: -2х+8. А должно быть +4! Выкидываем лишнее и остается (x-4)*(n-2) -4. Как-то так.
Кстати, вот такое принудительное разложение на множители очень помогает:
а) при решении уравнений в целых числах (т.е. как раз при решении С6);
б) при исследовании функций на монотонность;
в) при исследовании функций на ограниченность.
Страница: 1