Математика. Подготовка к ЕГЭ. |
Привет, Гость! Войдите или зарегистрируйтесь.
Вы здесь » Математика. Подготовка к ЕГЭ. » Подготовка к ЕГЭ » Задача С6 из "Лидера" - сумма попарных произведений
Задача.
"Найти сумму всех попарных произведений натуральных чисел 1, 2, 3, ... k"
Задача решается быстро, если знать формулу для суммы квадратов: 1^2 + 2^2 + ... + k^2. Однако мы в свое время доказывали эту формулу с помощью метода математической индукции, который сейчас изучается, мягко говоря, не всеми школьниками.
Меня интересует возможное решение этой задачи без применения (явного или скрытого) ММИ. Существует ли достаточно простое такое решение?
Если показать, что если сумма арифметической прогрессии (линейные слагаемые) дают квадратичную зависимость от k, то сумма квадратов даст зависимость кубическую вида S=a+bk+ck^2+dk^3. А дальше найти методом неопределенных коэффициентов a,b,c и d.
ALarin, я тоже так сделал. Однако вот этот переход:
если сумма арифметической прогрессии (линейные слагаемые) дают квадратичную зависимость от k, то сумма квадратов даст зависимость кубическую
можно ли считать очевидным:
а) при поступлении на мехмат?
б) при сдаче ЕГЭ?
На ЕГЭ наверное прокатит. На мехмат - вряд ли. Ну можно (если без ММИ) изобразить что-то на основе S(k+1)-S(k)=(k+1)^2 ... Но спору нет -тут "дырка". Если говорить о строгом решении, то нужно доказывать.
Доказать можно,рассмотрев разность кубов (к+1) и к.Не могу формулы печатать.
scorpion, о, понял! Действительно!
Вы здесь » Математика. Подготовка к ЕГЭ. » Подготовка к ЕГЭ » Задача С6 из "Лидера" - сумма попарных произведений